Aleatorio o No Aleatorio… (página 2)

Alentadoramente, se ha diseñado un
experimento. "Se corren pruebas para determinar el tiempo de
llegada a la escuela, se debe escoger el número de
repeticiones o réplicas. Se seleccionan los tiempos para
iniciar de manera aleatoria de entre los tiempos
posibles de inicio. Digamos que normalmente es posible iniciar en
cualquier momento dentro de los primeros 10 minutos entre las 8 a
las 8:09 a.m., es posible usar una "tabla" o cuadro de datos con
números aleatorios" para elegir el tiempo de
inicio del experimento".

En el Cuadro 1 anexo, tenemos lo que se conoce como un
arreglo de números aleatorios. Este consiste de
dígitos, números del 0 al 9, colocados en tal forma
que no importa donde se inicie, el número que aparezca
puede ser cualquiera de los dígitos y con la misma
posibilidad de aparecer con respecto a los 9 restantes. El
siguiente digito, sin importar en que dirección se elija
ir, puede también ser cualquiera y con una posibilidad
igual de aparecer. Así, si iniciamos en la primera columna
de la fila 31 y observamos al primer arreglo de dígitos en
la izquierda, encontraremos los números 40603 16152
83235…. y así sucesivamente (Ver cuadro
1).

El primer dígito es el número cuatro,
así el primer día se iniciará la prueba a
las 8:04 a.m. (nótese que el número 4 esta siendo
usado como el número de minutos después de las 8:00
en punto, en este caso 4 minutos después de las 8:00 a.m.
El segundo dígito de la lista es un 0, y este representa
el número de minutos después de las 8 en punto en
el segundo día, o 8:00 a.m. El tercer día
iniciará a las 8:06 a.m., y así sucesivamente. Si
seguimos este procedimiento estaremos seguros de que el tiempo de
inicio no este sesgado o influenciado por alguien en su
selección. Han sido escogidos de forma totalmente
aleatoria, y asegurar la aleatoriedad al
escoger nuestras muestras es vital.

Respondiendo a nuestra pregunta planteada
en el inciso b. tenemos:

Primero
identificamos a las ratas de forma conveniente y las numeramos
del 1 al 19; Nos ubicamos en un punto de partida en el cuadro de
números aleatorios; una conveniente regla es la de iniciar
donde nos quedamos la última vez que usamos esta
herramienta. Una manera sencilla, pero no siempre la más
eficiente, consiste en rechazar todos los números mayores
que 20 (establecer que 00 cuenta como mayor que 20) y tomar los
primeros cinco restantes, rechazar cualquier repetición.
Suponga que nuestra selección se inicia al principio de la
primera columna; leemos los pares de dígitos en las
columnas 1 y 2, hacia abajo, este procedimiento da como resultado
20, 16, 4, 3, 1; las ratas con estos números son entonces
nuestra muestra aleatoria.

Un segundo método más elaborado y
eficiente es presentado a continuación. Divida cada par de
dígitos entre 19 y tome el residuo (si el residuo es igual
a cero para este propósito es considerado como 19); estos
residuos son entonces los números aleatorios requeridos.
Debido a que 19 no es un submúltiplo exacto de 10. Debido
al tamaño del grupo, los pares de dígitos 1,
…, 19; 20, …, 38; 39, …, 57;
58, …, 76; 77, …, 95 todos dan residuos de 1,
…, 19, pero los pares 96, …, 00 producen un arreglo
incompleto de residuos 1,…, 5 y por esta
razón deben ser excluidos debido a que su uso
alteraría las frecuencias de los residuos. Iniciando de
arriba abajo a partir de la primera columna entonces
seleccionaríamos los números 20, 74,
98, 22, 93, 45 y 44 que al ser divididos entre 19 (nótese
la exclusión del 98) obtenemos aquellos individuos
numerados con 1, 17, 3, [17], 7, 6. A menos que el muestreo sea
requerido con reemplazo ignoraríamos el segundo
17.

En otro ejemplo, suponga que tenemos 40 latas de
sopas deshidratadas para acampar, y que deseamos tomar una
muestra de tamaño n = 4 para estudiar su
condición.

Nuestro primer paso es numerar las cajas de 1 a 40 o
apilarlas en algún orden de tal forma que puedan ser
identificadas. En el Cuadro 1 adjunto de números
aleatorios, los dígitos deben escogerse de a dos a la vez
porque la población de tamaño N =40 es un
número de dos dígitos. Empezamos seleccionando
arbitrariamente una página, una fila, y una columna de la
tabla. Suponga que nuestra selección es la fila 46, y la
columna 9. Leemos los pares de dígitos en las
columnas:

31 76 78 48 74 27 37 37 99 96 66 81 79
52 19

Ignoramos los números mayores que 40 y
también cualquier número repetido cuando aparezca
una segunda vez, como el 37. Se continúa leyendo pares de
dígitos hasta que cuatro unidades diferentes hayan sido
seleccionadas.

31 27 37 19

Entonces se examinan los contenidos de
las latas seleccionadas.

Otra forma de resolver este problema, para el caso
específico de seleccionar aleatoriamente un miembro de una
lista de N personas, se genera o escoge un número
aleatorio r dividido entre 100, se puede demostrar que el
elemento seleccionado será el que ocupe la posición
dada por el resultado de multiplicar el número aleatorio r
por el número de elementos de la lista N, sumarle uno y
tomar la parte entera del resultado, es decir, la posición
J seleccionada será la parte entera de la siguiente
expresión: J = [N r + 1]. Si usáramos este
procedimiento para los números aleatorios
escogidos (0.31, 0.27, 0.37 y 0.19) las latas a muestrear
serían las correspondientes a los números
[40×0.31+1, 40×0.27+1, 40×0.37+1 y 40×0.19+1]

= [13.4, 11.8, 15.8 y 8.6] = [13, 11, 15, y
8].

Por supuesto, podemos ampliar el uso de los
números aleatorios para incluir un mayor arreglo
de dígitos. Por ejemplo, podemos asignar un número
de 000 a 999 para cada estudiante de los 1000 estudiantes de
nuestra población de estudiantes a fin de aplicarles un
cuestionario. A continuación escogemos los números
aleatorios tomando grupos de 3 dígitos, los cuales
servirán como el número de estudiante a elegir.
Así, si observamos en la primera columna de la Fila 32 del
mismo arreglo de dígitos, y encontramos los números
409.

De esta forma el primer estudiante en ser
entrevistado será el estudiante número 409. El
siguiente estudiante será el 415, el tercero 358, el
cuarto 569, y el siguiente 958. De esta forma
seleccionaremos a nuestros estudiantes completamente al
azar.

Para muestreos a gran escala o aplicaciones
frecuentes, se recomienda usar la tabla con valores
que vienen de una fuente más grande de número
aleatorios llamados Un millón de números aleatorios
con

100,000 Desviaciones Normales, por la
Corporación Rand o un generador de
número aleatorios de un computador, adecuadamente
probado.

Regresando a nuestro diseño de experimentos, se
debe notar que se pudieron tener problemas más complicados
por resolver. Por ejemplo, un biólogo puede estudiar los
niveles de azúcar en sangre de ratas macho y hembras de
diferentes edades, en diferentes dietas, y a diferentes tiempos
del día, usando un simple arreglo de roedores para
contestar todas estas preguntas al mismo tiempo. El diseño
de este experimento exige y va más allá de la
estadística elemental, obviamente se debe estar consciente
del alcance de las situaciones que pueden ser analizadas con
técnicas estadísticas modernas (Diseños
experimentales).

Finalmente, tenemos los datos tipo encuesta. Aquí
entre los muchos puntos que son importantes, debemos considerar
el hecho de que el cuestionario debe estar preparado
apropiadamente y previamente validado, los individuos deben ser
elegidos de manera adecuada y aleatoria. La información
recabada deberá reflejar a la población en la
que estamos interesados entender; por lo tanto, es
necesaria una cuidadosa y extensiva planeación.

"Nótese que si afirmamos que
una muestra es representativa de la población quiere decir
que conocemos las características de la población,
entonces no tendría sentido hacer un estudio por
muestreo"

En este momento tal vez el lector diga
¿Qué…? es posible ¡!!!!, motivo por el
cual vale la pena aclarar algunos puntos.

¿Qué son los números
aleatorios?

Son números que deben de cumplir los requisitos
de ser equiprobables, es decir, que todo elemento tenga la misma
probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no
dependa de la elección del otro.

¿Cuál es su
aplicación?

En la vida cotidiana se utilizan números
aleatorios en situaciones como pueden ser los juegos de azar,
Matemática Aplicada, Análisis
Numérico, Criptografía (comprobar la cantidad
de información filtrada por algoritmos
criptográficos), estudios de Simulación de sistemas
físicos o matemáticos (como el Método Monte
Carlo para Cálculo Integral) para reproducir otra serie de
fenómenos o variables aleatorias, para modelar y estudiar
resultados de experimentos científicos en los
sistemas electrónicos de telecomunicaciones. Los sistemas
que usamos en los ordenadores actuales se basan en una semilla de
base aleatoria (mover el ratón sin sentido mientras se
realiza el cálculo)

Si escogemos números de nuestra
mente se tenderá enfatizar a ciertos números y no
incluir suficientemente a otros. ¿Cierto o
Falso?

Para responder a la pregunta anterior. Escoja un
número de un dígito al azar (0 a 9) y
anótelo. Vuelva a hacer lo mismo tres veces más,
cada vez olvidando o ignorando lo previamente realizado. De esta
forma cada dígito es aleatorio y usted tendrá un
arreglo de 4 dígitos aleatorios. Repita este proceso o
procedimiento 25 veces más. Tendrá un total de 100
dígitos en grupos de 4.

a. Cuente el número de veces que
usted anotó cada dígito. Debería tener
aproximadamente 10 de cada uno. ¿Qué tan cerca
estuvo?

b. Examine cada uno de los 25 grupos de 4.
Determine cual grupo tiene

2 (o más) de los mismos dígitos (p.ej.: 8,
6, 1, 8 tiene 2 "ochos"). ¿Qué porcentaje de sus
grupos tiene dígitos repetidos?

25 arreglos de 4 dígitos.
¿Qué porcentaje de sus grupos tiene dígitos
repetidos?

¿Qué comentarios puede
hacer?

¿Cómo se
generan?

El método usado para producir verdaderos
números aleatorios es sumamente difícil y requiere
de técnicas especiales, que no cualquiera posee. Un
requisito es el de tener un comportamiento caótico, como
la desintegración radiactiva o el ruido térmico en
los transistores, impredictibles para cualquier tipo de
aplicación práctica.

Se denomina generador de números
aleatorios a cualquier procedimiento que produzca números
entre cero y uno. Los números generados, además de
distribuirse uniformemente, deben ser independientes, de tal
forma que los fenómenos que reproduzcan no estén
correlacionados entre sí. Se busca generar secuencias de
números que no caigan dentro de una rutina, es decir, un
ciclo de elementos no debe acabar repitiéndose.

Póngamelos para
llevar…

Esta sección cubre la parte
complementaria de proponer algunos problemas para que el lector
sopese las nuevas habilidades adquiridas.

• Para investigar irregularidades
electorales, una muestra aleatoria simple de tamaño
60 es tomada de una lista de 1024 votantes inscritos en un
barrio particular. ¿Como procedería a hacer su
elección?, garantizando aleatoriedad

• Un estudio de nutrición es dirigido para
determinar la calidad de la comida ingerida por niños en
una escuela primaria. De un total de 1500 niños en
escuelas primarias en una ciudad en particular, se debe
seleccionar una muestra aleatoria simple de 80.
¿qué procedimiento emplearía? ¿por
qué?

• Un guardabosque desea estimar la
proporción de árboles en un bosque de tierras bajas
que tienen infecciones de madera mojada. Estas infecciones pueden
descubrirse por la presencia de una bacteria particular en el
jugo extraído de los Se decide muestrear 400
árboles, para realizarles las correspondientes pruebas.
¿De qué forma se llevaría a
cabo el muestreo? ¿Garantiza ser aleatorio?

• Los errores que se presentan en las cuentas por
cobrar son de importancia vital para los interventores. Un
interventor que trabaja para una compañía de
transportes desea estimar la proporción de casos en los
que clientes reciben facturas defectuosas. Suponga que durante un
periodo dado de tiempo, se archivan 2325 cuentas por cobrar en la
oficina del interventor. Se elije muestrear a 500 de estas
cuentas. Indique el procedimiento.

• Suponga que 588 granjas localizadas en un
área particular constituyen una población y que el
gasto de capital de su último año en maquinaria y
en equipo de la hacienda es la característica a ser
estudiada. Se escogen 60. Usando los números aleatorios
correspondientes señale el método que
emplearía para llevar a cabo semejante tarea.

Bibliografía

ESTUDIOS DE MUESTREO 1Traducción
del capítulo 16 "Sample Surveys" del libro
"Statistical Concepts And Methods", Gouri K. Bhattacharyya and
Richard A. Johnson. John Wiley and Sons, Inc. 1977.
Traducción por parte de estudiantes del curso de
"Estadística Matemática I" (semestre 02 de 2000)
del Departamento de Ingeniería Industrial de la Facultad
de Ingeniería de la Universidad de Antioquia, con la
recopilación, corrección y adaptación del
profesor Bernardo A. Calderón C.
http://siona.udea.edu.co/~bcalderon/5_preguntamuestreo.html
(Revisado en mayo del 2008)

Campbell, R. C. 1975. STATISTICS FOR BIOLOGISTS. Second
Edition. Cambridge University Press. p. 5-6;
343-344. ISBN 0-521-09836-x

Un gaditano en Silicon Valley. Un
millón de números aleatorios.
http://folksonomy.com/un-millon-de-numeros-aleatorios/ (Revisado
en mayo del 2008)

Ullman, Neil R. 1978. Elementary Statistics. An Applied
Approach. John Wiley and Sons, Inc. ISBN
0-471-02105-9

Triola, Mario F. 2006. Estadística. Novena
Edición Traducida al Español. Pearson
Educación. México. p.24. ISBN
970-26-0519-9

Cochran, William G. 1992. Técnicas
de Muestreo. Primera Edición. 9a Reimp. Traducida al
Español. CECSA.México. p. 42-43. ISBN
968-26-0151-7.

Cuadro 1. Números Aleatorios.
Sin importar el punto de inicio a partir del cual se elijan o la
dirección en la cual se continué seleccionando
valores. El modelo en que está basada la tabla de
números aleatorios asegura que todos los dígitos
simples tienen la misma probabilidad de ocurrencia de 1/10, que
todos los pares de dígitos 00, 01,…,99 tienen una
probabilidad de ocurrencia igual a 1/100, y así
sucesivamente. Es posible ir hacia la derecha, izquierda, arriba,
abajo y/o diagonalmente. Se presentan en grupos de cinco
meramente por conveniencia. Aquellos marcados con gris, responden
a ejemplos señalados en el cuerpo del texto.

De: RAND Corporation, Un Millón de
Números Aleatorios con 100,000 Desviaciones

Normales, publicadas en 1955 por la Free
Press.

Autor:

Lourdes Hernández
Hernández, PA Universidad Politécnica de
Puebla.

Santiago Daniel Markwalder
Benítez, PA Universidad Realística
de

México.